奇函數常用題解題技巧-tft每日頭條

奇函數常用題解題技巧（你不熟知的奇函數妙用）1

已知函數f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值為M，最小值為m，則M＋N＝______

解析：

當題目出現一串很複雜的函數時，又告訴你最大值為一個符号，最小值也是一個符号時，這種題目其實是在考察奇函數

我們來思考一下，什麼是奇函數呢？

①首先，這個函數定義域要關于原點對稱

②其次，這個函數要滿足f(－x)＝－f(x)

好的，我們再來思考一下，如果一個奇函數的最大值＋最小值，它會等于多少呢？

答案是：0

奇函數圖象是不是要關于原點對稱呢，當我f(－x)取到最大值時，是不是我f(x)就要取到最小值呢？

奇函數常用題解題技巧（你不熟知的奇函數妙用）2

而我們奇函數滿足f(－x)＝－f(x)，即f(－x)－f(x)＝0

∴奇函數的最大值－最小值＝0

當我們知道這個條件以後，我們來看看這道題目應該如何做呢？

題目告訴我們f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1，定義域為[－1，3]

我們剛剛說過奇函數定義域一定要關于原點對稱，而這時題目給我們的定義域是[－1，3]，沒有關于原點對稱，我們應該怎麼辦呢？

我們來仔細看一下這個方程

f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1

這個方程中有個sin(x－1)，這個是sinx向右平移的一個函數，沒有奇偶性，但我們可以把它變成一個有奇偶性的表達式，怎麼變的呢？

我們來假設一下，令t＝x－1，t定義域∈[－2，2]，定義域是不是關于原點對稱了呢

則是不是可以将sin(x－1)＝sint，而這時sint是不是變成了一個有奇偶性的表達式了呢？

所以這道題，首先我們要将f(x)轉化成f(t＋1)

f(t＋1)＝[(t＋1)－2(t＋1)]sint＋t＋2

＝[(t＋1)(t－1)]sint＋t＋2

＝(t－1)sint＋t＋2

＝tsint－sint＋t＋2

而這時我們可以看到f(t＋1)＝tsint－sint＋t＋2＝奇函數－奇函數＋奇函數＋2＝奇函數＋2

這時當我最大值f(t＋1)＋最小值f(t＋1)會等于多少呢？

＝奇函數最大值＋2＋奇函數最小值＋2

＝奇函數最大值＋最小值＋4

我們剛剛已經證明過奇函數最大值＋最小值＝0

∴我們要求的M＋N＝4

這道題我們學會了，但是如果題目改一下，你是否會呢？

練習：

奇函數常用題解題技巧（你不熟知的奇函數妙用）3