與圓有關的角

【閱讀與思考】

1.與圓有關的角主要有圓心角、圓周角、弦切角特别的，直徑所對的圓周角是直角圓内接四邊形提供相等的角、互補的角，在理解與圓有關的角的概念時，要注意角的項點與圓的位置關系、角的兩邊與圓的位置關系.

2.角在解題中經常發揮重要的作用，是證明角平分線、兩線平行、兩線垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要條件，而圓的特點又使角的互相轉化具備了靈活多變的優越條件，是解題中最活躍的元素.

3.熟悉以下基本圖形和以上基本結論.

【例題與求解】

【解析】

連接DE，由∠B ∠ADE=180°；∠ADE ∠EDC=180°得∠B=∠EDC，證△EDC~△ABC，則再由相似三角形的面積之比等于邊長比的平方.

【點評】

本題考查了相似三角形的性質，面積之比等于對應邊之比的平方.

【解析】

本題是利用相似三角形來求值的題目，關鍵是确定要證明哪兩個三角形相似.

例如本題中欲求BM的值通過得出△AMB~△BMD得到AM/BM=BM/DM從而建立起已知待求之DM間的關系.證明三角形相似的方法有很多種，本題是通過“兩角對應相等的兩個三角形相似”來證明△AMB~△BMD的另外，在圓中找相等角時，别忘記“同圓或等圓中，等弧所對的圓周，角相等”的性質哦!

1.欲求BM的值，根據圖形中線段及角的關系，必須先得到AM/BM=BM/DM、AM的值，你有解題思路了嗎?

2.在求取AM/BM=BM/DM、AM的值中，關鍵在于得到AM/BM=BM/DM，即需要證明△AMB~△BMD，你有什麼辦法?

3.隻要有∠BAM=∠MBC，并結合條件∠AMB=∠DMB利用兩角對應相等的兩個三角形相似，便能證明△AMB~△BMD了!

【解析】

(1)根據直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA ∠DCE=90° 90°=180°；

(2)連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE ∠ADF=∠CBD ∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質得到ON=1/2*BD，OM=1/2*AE，ON//BD，AE//OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結論；

(3)證明的方法和(2)一樣.

【點評】

本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質；也考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及旋轉的性質.

【點評】

本題考查了圓周角定理、在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半.同時考查了圓内接四邊形的性質和三角形相似的判定與性質.

【點評】

本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理、垂徑定理、直徑的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.