有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉化成平行四邊形

例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點，EF⊥AB于F，求證：S梯形ABCD = EF·AB

證明：過E作MN∥AB，交AD的延長線于M，交BC于N，則四邊形ABNM為平行四邊形

∵EF⊥AB

∴S□ABNM = AB·EF

∵AD∥BC

∴∠M =∠MNC

又∵DE = CE ∠1 =∠2

∴△CEN≌△DEM

∴S△CEN = S△DEM

∴S梯形ABCD = S五邊形ABNED＋S△CEN = S五邊形ABNED＋S△DEM

= S梯形ABCD = EF·AB

有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉換成三角形

例：已知,如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC，求證：∠AEC = 3∠DAE

證明：連結BE并延長交AD的延長線于N

∵AD∥BC

∴∠3 =∠N

又∵∠1 =∠2 ED = EC

∴△DEN≌△CEB

∴BE = EN DN = BC

∵AB⊥AD

∴AE = EN = BE

∴∠N =∠DAE

∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE

∵DE = BC BC = DN

∴DE = DN

∴∠N =∠1

∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE

∴∠2 =∠DAE

∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE

即∠AEC = 3∠DAE

梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線

例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中點，且EF⊥BC，求證：∠B =∠C

證明：過E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，則得□ABME，□NCDE

∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE

∵AE = DE

∴BM = CN

又∵BF = CF

∴FM = FN

又∵EF⊥BC

∴EM = EN

∴∠1 =∠2

∵AB∥EM， CD∥EN

∴∠1 =∠B ∠2 =∠C

∴∠B = ∠C

任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等于對角線乘積的一半

例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4,求梯形ABCD的面積.

解：∵AC⊥BD

∴S△ABD =1/2AO·BD

S△BCD=1/2CO·BD

∴S梯形ABCD = S△ABD ＋S△BCD=1/2AO·BD＋1/2CO·BD=1/2(AO＋CO)·BD

即S梯形ABCD=1/2AC·BD =1/2×4×3.4=6.8

答：梯形ABCD面積為6.8.

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