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3個正數為邊長圍成三角形的條件：a＋b＞c，這是大家都知道的，但是要圍成鈍角三角形則啊a，b，c滿足什麼條件呢？讓我們先回顧圍成直角三角形的條件：a^2＋b^2=c^2，此時，c邊所對的角最大且為直角。

顯然當a^2＋b^2≠c^2時，c邊所對的角最大，但非直角！

追問一句，此時，不是直角是什麼角？

——銳角或鈍角。

——好的！從角的分類來說隻有三種情況：銳角、直角、鈍角。排除一種（直角），當然還有兩種可能。那麼a^2＋b^2與c^2，其值的也有三種情況：小于、等于、大于。排除一種（相等），勢必也有兩種可能：小于或大于。

自然聯想到它們之間的達成某種默契：

結論

以任意三個正數0＜a＜b＜c為邊長，圍成鈍角三角形的條件：a＋b＞c，a^2＋b^2＜c^2.

弄清楚圍成鈍角三角形的條件後，我們是不是迫不及待地進行試驗啦？

當然是可以的，不過可以預見試驗的效度、信度肯定不高。沒有更好的辦法呢？讓我們繼續探究下去，或許可以找到更好的辦法。

圍成鈍角三角形的條件：a＋b＞c，a^2＋b^2＜c^2.

将這兩個不等式進一步變形（右邊都變成“1”）得

a/c＋b/c＞1，（a/c）^2＋（a/c）^2＜1

設x= a/c，y= b/c，則有x＋y＞1，x^2＋y ^2＜1，其中0＜x＜1，0＜y＜1.

讓我們從函數的角度，再來解讀圍成鈍角三角形的條件：

x＋y＞1的含義：x＋y=1表示直線y=－x＋1上所有點，若x＋y≠1，則表示直線外的所有點，這個描述顯然還不夠“精細”，自然想到x＋y≠1，意味着x＋y＜1或x＋y＞1，其含義必然對應着直線的下方與下方（的所有點組成的區域）.

類比聯想

x^2＋y ^2＜1，x^2＋y ^2=1（圓心在坐标原點，半徑為1的圓），x^2＋y ^2＞1，也有類似的含義（見下表）.

解讀圍成鈍角三角形的條件：x＋y＞1，x^2＋y ^2＜1，其中0＜x＜1，0＜y＜1的含義：

直角坐标平面内，0＜x＜1，0＜y＜1，即正方形區域（0,0）（1,0），（1,0）（1,1）的内部（不包括邊界）；x＋y＞1，即直線y=－x＋1的上方；x^2＋y ^2＜1，即圓心在原點，半徑為1的圓形區域内部。所以圍成鈍角三角形的條件就與這三個區域的公共區域内（如圖所示的弓形區域，不包括邊界）的随機點的橫、縱坐标相關（即以該區域内任一點的橫坐标= a/c，縱坐标= b/c）。

畫一個邊長為1的正方形，再以一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧（1/4圓周），并連結弧的兩端（正方形的一條對角線）向這個正方形内随機投擲骰子，分别統計投擲骰子落在正方形區域的次數m， 骰子落在弓形區域的次數n，計算出骰子落在弓形區域的頻率n/m，按統計（用頻率估計概率）原理，這個頻率n/m就是以任意3個正數為邊長圍成鈍角三角形的概率.

用電腦模拟這個試驗，試驗結果（如圖）

1.從以任意三個正數為邊長圍成三角形、鈍角三角形的概率問題轉化到向一正方形區域擲骰子問題，這個思維跨度是非常大的，對學生來說不亞于一次時空穿越，帶給他們感受是非常震撼的。從看問題的視角來說，除了對二元二次方程x^2＋y ^2=1表示圓陌生外（在耐心引導下，部分學生還是能夠感受到），其他一元一次、二元一次不等式的幾何意義（表示平面區域）能夠自主總結出來，從而從數、式、形三個層面，給他們提供了如何看待函數、方程、不等式的全方位視角。

2.從思考問題的方法來看，引申、轉化、化歸、類比、對應、整體、統計思想這些方法的綜合運用，對培養和發展學生分析問題、解決問題的能力，本問題也是難得的教學素材。

3.還有對統計思想、統計方法的滲透。在這個問題中，骰子落在弓形區域的概率P（弓形）是可以計算的，這個概率為（π－2）/4≈0.2854，它與圓周率有關，因而可以利用試驗所得（骰子落在弓形區域的）頻率來代替概率，從而測得圓周率PI的值（PI=4 P（弓形）＋2），這種“計算”圓周率的方法，對初中學段的學生來說，簡直不可思議！是萬萬想不到的。與祖沖之割圓術計算圓周率，從思想方法到技術存在巨大反差，對學生而言，也是突破傳統思維，發展創新思維的鮮活案例。這種試驗方法統計學上，稱之為蒙特卡羅方法。它被廣泛運用于科學研究、軍事、金融、公用事業等諸多領域。