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泰勒萬能公式
泰勒萬能公式
更新时间:2025-08-04 11:04:17

“初次見你,我是那麼讨厭你,後來的生活越來越離不開你,現在你是我心中的女皇。” ——獻給美麗的泰勒公式


1. 初識泰勒公式

當我們開始上高數課或數分課大約二個月的時候,就會碰到這個令人生厭的泰勒公式,因為她太麻煩太複雜。一是她有那麼多項,二是她要我們求那麼多的各階導數,三是帶着一個不知道是幾的中值餘項,拜托,既然不知道中值是幾,還弄出這個餘項幹麼?哦,打住,别抱怨,你會慢慢愛上她的!!!

2.極限問題的核心

當 x>0 很小時,考慮 x、sin x 和 tan x 的差别有多大?回答這個問題首先要确定一個标準,就是他們之間是簡單倍數關系?還是“數量級”的不同?對于初學者來說,可能還需要不少腦洞。但對于進階者來說,馬上就可以知道結果,因為當 x→0 時 sin x ~ tan x ~x,三者是等價的,不太确切地說是三者幾乎相等(注意不是絕對相等)。哦,你覺得簡單說明你已經差不多理解等價無窮小了。

那麼進一步,把三者稍微運算一下,看看當 x>0 很小時,tan xㄧsin x 和 x^2 的差别有多大?稍有經驗的同學懂得乘積情況下,因子可以用等價無窮小替換來求極限,故前者比後者小的多,因為 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x~(x^3)/2,他比 x^2 小的多,完全不在一個“數量級”,這裡所說的“數量級”其實就是 x 的次數,tan xㄧsin x 相當于 x ^3,他遠遠小于 x^2 。瞧,這就是階的比較。

其中 Rn(x)是餘項,可以有兩種形式,一種稱為拉格朗日餘項,即

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)1

适用于展開式的誤差估計,以及其他更加精細的操作,其中 ξ 介于 x 和 x0 之間。另一種稱為皮亞諾餘項,即

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)2

表示展開式帶有這麼一個誤差項,大緻和 (xㄧx0)^n 等價的一個無窮小。

在處理極限問題是我們更多用的是 x0=0 時的泰勒公式,也稱為麥克勞林公式:

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)3

例如,sin x 和 tan x 的展開式為:

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)4

泰勒公式在求函數極限時有很高的效率,原因在于應用泰勒公式可以方便地求出函數的主項,如 sin x 和 tan x 的主項都是 x,而 tan xㄧsin x 的主項為 (x^3)/2,這是因為 tan xㄧsin x 的泰勒公展式為:

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)5

同理 sin xㄧx 的主項為 ㄧ(x^3)/6, sin xㄧx (x^3)/6主項為 (x^5)/120。

溫馨提示: 應用泰勒公式可以方便地求出函數的主項。

許多複雜的函數極限問題,應用泰勒公式都可以完美解決。

4.一個複雜的例子

本例來源于吉米多維奇習題集第1407号問題:

求 tan(sin x)ㄧsin(tan x) 的主項。

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)6

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)7

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)8

因此有下列極限

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)9

5.美麗的泰勒公式

高數大廈起極限 階的比較破萬難 敢問階路在何方 泰勒公式若等閑

玩不轉泰勒公式,請不要說“高數我能行”

玩不轉泰勒公式,請不要說“我是數學人”

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)10

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