首页
/
每日頭條
/
生活
/
泰勒萬能公式
泰勒萬能公式
更新时间:2025-08-04 13:33:45

“初次見你,我是那麼讨厭你,後來的生活越來越離不開你,現在你是我心中的女皇。” ——獻給美麗的泰勒公式


1. 初識泰勒公式

當我們開始上高數課或數分課大約二個月的時候,就會碰到這個令人生厭的泰勒公式,因為她太麻煩太複雜。一是她有那麼多項,二是她要我們求那麼多的各階導數,三是帶着一個不知道是幾的中值餘項,拜托,既然不知道中值是幾,還弄出這個餘項幹麼?哦,打住,别抱怨,你會慢慢愛上她的!!!

2.極限問題的核心

當 x>0 很小時,考慮 x、sin x 和 tan x 的差别有多大?回答這個問題首先要确定一個标準,就是他們之間是簡單倍數關系?還是“數量級”的不同?對于初學者來說,可能還需要不少腦洞。但對于進階者來說,馬上就可以知道結果,因為當 x→0 時 sin x ~ tan x ~x,三者是等價的,不太确切地說是三者幾乎相等(注意不是絕對相等)。哦,你覺得簡單說明你已經差不多理解等價無窮小了。

那麼進一步,把三者稍微運算一下,看看當 x>0 很小時,tan xㄧsin x 和 x^2 的差别有多大?稍有經驗的同學懂得乘積情況下,因子可以用等價無窮小替換來求極限,故前者比後者小的多,因為 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x~(x^3)/2,他比 x^2 小的多,完全不在一個“數量級”,這裡所說的“數量級”其實就是 x 的次數,tan xㄧsin x 相當于 x ^3,他遠遠小于 x^2 。瞧,這就是階的比較。

其中 Rn(x)是餘項,可以有兩種形式,一種稱為拉格朗日餘項,即

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)1

适用于展開式的誤差估計,以及其他更加精細的操作,其中 ξ 介于 x 和 x0 之間。另一種稱為皮亞諾餘項,即

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)2

表示展開式帶有這麼一個誤差項,大緻和 (xㄧx0)^n 等價的一個無窮小。

在處理極限問題是我們更多用的是 x0=0 時的泰勒公式,也稱為麥克勞林公式:

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)3

例如,sin x 和 tan x 的展開式為:

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)4

泰勒公式在求函數極限時有很高的效率,原因在于應用泰勒公式可以方便地求出函數的主項,如 sin x 和 tan x 的主項都是 x,而 tan xㄧsin x 的主項為 (x^3)/2,這是因為 tan xㄧsin x 的泰勒公展式為:

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)5

同理 sin xㄧx 的主項為 ㄧ(x^3)/6, sin xㄧx (x^3)/6主項為 (x^5)/120。

溫馨提示: 應用泰勒公式可以方便地求出函數的主項。

許多複雜的函數極限問題,應用泰勒公式都可以完美解決。

4.一個複雜的例子

本例來源于吉米多維奇習題集第1407号問題:

求 tan(sin x)ㄧsin(tan x) 的主項。

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)6

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)7

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)8

因此有下列極限

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)9

5.美麗的泰勒公式

高數大廈起極限 階的比較破萬難 敢問階路在何方 泰勒公式若等閑

玩不轉泰勒公式,請不要說“高數我能行”

玩不轉泰勒公式,請不要說“我是數學人”

泰勒萬能公式(強悍的泰勒公式)10

,
Comments
Welcome to tft每日頭條 comments! Please keep conversations courteous and on-topic. To fosterproductive and respectful conversations, you may see comments from our Community Managers.
Sign up to post
Sort by
Show More Comments
推荐阅读
有營養又吃不胖的堅果有哪些
有營養又吃不胖的堅果有哪些
幹果的歸類過節家裡的小零食怎能少的了幹果,幹果都是許多女生偏愛的小零食。幹果依照原材料來源于來分,能夠分成樹幹果和果子種子類。樹幹果比如榛子、核桃仁、核桃仁、腰果這四大堅果都歸屬于樹幹果,也有松籽、栗子、白果、面包粉、夏威夷果等。果子種子類比如花生仁、葵花仁、南瓜籽、西瓜子等。幹果的人體脂肪會生胖嗎...
2025-08-04
吃哪些蔬菜可能會增大患癌風險
吃哪些蔬菜可能會增大患癌風險
1蕨菜經科學研究說明,蕨菜中帶有緻癌物質成份,在其中某些化學物質可以造成癌證的造成,非常容易引起食管癌,有時候吃一回2次危害不大,但不提議長期性服用,要不然會對人體嚴重危害,因此針對蕨菜,要少吃。2儲放太久的苋菜說到苋菜,作法多種多樣,大家常見來做餃子或者和别的蔬菜水果、肉類食品一塊兒燒菜,味兒全是...
2025-08-04
如何做鮑魚才好吃呢
如何做鮑魚才好吃呢
第一、首先用牙刷将買回來的鮑魚洗刷幹淨,如下圖所示。小貼士大家在用牙刷洗刷鮑魚的時候一定要認真,不要錯過每一個肉縫,否則是會留下許多病菌的,這一點大家一定要注意。第二、然後用我們喝湯的勺子把鮑魚的肉打開,将裡面的腸子處理幹淨,如下圖所示。第三、接着把鮑魚的肉打上十字花刀,如下圖所示。小貼士我們在處理...
2025-08-04
柚子該如何挑選
柚子該如何挑選
1、柚子買大不買小:大的柚子多為品種優良類,果實的中果肉比較厚實。2、柚子買重不買輕:越重的柚子表明其中的果肉越厚實,汁液比較多。3、柚子買尖不買圓:柚子成熟之後多為尖的,圓形的柚子要麼沒有完全成熟,要麼就是品種不好。4、柚子買黃不買青:柚子成熟之後外皮是黃色的,青色的柚子沒有成熟,采摘過早,味道酸...
2025-08-04
西瓜能放冰箱裡面嗎
西瓜能放冰箱裡面嗎
1、西瓜是能夠放到冰箱裡的。2、如果購買的是新鮮、完整的西瓜,由于有西瓜皮的保護,裡面沒有被細菌污染,放在冰箱不切開可以放7天以上都不會壞。3、如果西瓜切開後切面接觸了空氣和水果刀上的細菌,果肉就被污染了,放在冰箱冷藏隻是抑制了細菌的滋生速度,延長了保質期而已,一般情況冷藏24小時内細菌數量還是在安...
2025-08-04
Copyright 2023-2025 - www.tftnews.com All Rights Reserved