函數的凸性問題，在許多人看來，已經算是數學知識中相對比較冷門的了。老黃今天要分析的這個關于凸函數的定理，更是冷門中的冷門。學會後，可以在同學們間，特别是美女帥哥同學面前炫一炫哦。

定理以證明題的形式展示如下：

若f,g均為I上的凸函數，且凸性相同，

記M(x)=max{f(x),g(x)}和m(x)=min{f(x),g(x)}，

證明：若f,g上凸，則m(x)上凸；若f,g下凸，則M(x)下凸.

分析：不知道你了不了解最值函數，就是題目中的M(x)和m(x)。M(x)是最大值函數，即返回兩個函數在同一自變量上的最大值；m(x)是最小值函數，即返回兩個函數在同一自變量上的最小值。

這道證明題提出了這樣一個問題。凸函數的最值函數有沒有凸性規律。自然，它是存在規律的。不過這裡有兩點需要注意的。

(1)首先兩個函數必須有相同的凸性，即兩個函數同為上凸，或同為下凸函數。如果一個上凸，一個下凸，就不會有規律。随便找兩個函數，一個上凸，一個下凸，畫出它們的圖像，就一目了然了。比如上凸函數y=ln(x 3)和下凸函數y=e^x，如下圖，在原來公共的凸性區間上，就确定不了它們的最值函數的凸性。注意：兩條曲線如果少于兩個公共點，就不在這個定理的範圍内。

(2)上凸函數之間，隻有最小值函數上凸，最大值函數無法确定凸性；下凸函數之間，隻有最大值函數下凸，反之最小值函數就無法确定凸性。接下來進行證明：

證：設x1,x2∈I, λ∈(0,1)，若f,g均為I上的上凸函數，則

f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2)≥λm(x1) (1-λ)m(x2)

g(λx1 (1-λ)x2)≥λg(x1) (1-λ)g(x2)≥λm(x1) (1-λ)m(x2)，

m(λx1 (1-λ)x2)=min{f(λx1 (1-λ)x2),g(λx1 (1-λ)x2)}

≥λm(x1) (1-λ)m(x2)，∴m(x)上凸. 【如：當f(x)=-x^2 2, g(x)=lnx時，如下圖】

同理可證：當f,g均下凸時, M(x)也下凸. 【如：當f(x)=x^2, g(x)=ex時，如下圖】

圖像很明确地說明了問題，對于兩個上凸函數而言，最小值函數上凸的性狀是非常明顯的，而你并無法從圖像中确定它們的最大值函數的凸性；而對于兩個下凸函數而言，最大值函數下凸的性狀同樣明顯，但你也無法從圖像中确定它們的最小值函數的凸性。注意，必須在原凸性區間上确定，不能細分區間，因為那樣是沒有确定性的。

另外，從兩個最值函數的圖像，我們還可以确定一個一直存在某些争論的問題，那就是凸函數在定義域上，未必是可導的。可以很明顯地看到，最值函數在兩個函數的交點處，往往是不可導的，但它們仍具有凸性。