自然數的表示方法——進位制與位值制

随着生産實踐的進一步發展，人類需要計數更大的數目，這時就必須将記數的方法系統化，否則無法表示大數目。在人類發展史上，曾經出現過多種記數方法（有不同的進位制，但都沒有位值制，一直到印度——阿拉伯計數系統的出現）。

①數基（或者"進位制"）。

在曆史上，曾經出現過以2、3、4為原始的數基，但比較多的還是以5、10、20、60為數基，即五進制、十進制、二十進制、六十進制。最多的是以10為數基，即現在世界各國通用的十進制，亦即"滿十進一"的方法。當然，在計算機時代，二進制也發揮了巨大的作用。

②位值制。

由于人共有10根手指，所以産生十進制并不為奇。在古代文明中，世界各國大多數都是采用的十進制，例如中國、羅馬等。但十進位記數法，離十進位值制還有關鍵的一步要走，即"位置值制"簡稱"位值制"。所謂"位值制"，是指相同的記數符号由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數目。舉一個簡單的例子，1231，這個數出現了兩個數字1，但一個代表1，另一個代表1000.由于有了位值制，就可以用有限個數字表示出無限多個自然數，這是記數史上的一個創造，一個奇迹。因此，馬克思在他的《數學手稿》一書中稱十進位值制記數法為"最妙的發明之一"。

圖（7—2）

圖（7—2）

"位值制"的發明要比"十進位制"晚得多，因此在小學數學的自然數概念教學中，理解"位值"是非常抽象的。教學中要根據學生已有的經驗（例如會說數的名稱，數數的活動）并借助于"數位筒"、計數器、或者算盤等形象的記數材料，設計有趣的數學活動來深刻理解"位值"的概念。

③中國古代數學的貢獻——算籌與籌算

中國古代是用算籌表示數字的，如下圖所示：

為什麼要用縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因為位值制的需要。算籌記數的表示方法為：個位用縱式、十位用橫式、百位再用縱式、千位再用橫式、萬位再用縱式……這樣從右到左，縱橫相間，以此類推，就可以用算籌表示任意大的自然數。

由于位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆也不會錯位。運用算籌進行四則運算（就是籌算），就非常方便快捷。

中國古代算籌記數法在世界數學史上是一個偉大的創造。把它與世界其它古老民族的記數法作一比較，其優越性是顯而易見的：古羅馬的數字系統沒有位值制，隻有七個基本符号，要記稍微大一點的數就非常繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進位，古巴比倫人雖然懂得位值制，但用的是60進位。20進位至少要用19個數碼，60進位要用59個數碼，這就使記數和運算變得非常複雜，遠不如隻用9個數碼便可以表示任意自然數的十進制來得簡捷方便。

但中國的算籌記數也有一大缺點就是沒有表示"0"的算籌（另外，它不是用符号表示的，沒有"代數符号"表示也是中國數學的一大缺點），若表示"沒有"時，就用"空位"，實際上在進行算籌計算時容易混淆。直到印度人發明了數碼"0"，十進制的印度——阿拉伯數系才是當前最完備的記數系統。

小數點兒說：了解了進位制與位值制的發展和曆史形成過程，才能感受到課堂教學中位值觀念的建立給孩子心中種下了一顆多麼神奇的數學的種子，我們在教學過程中更加夠敬畏尊重這部分知識，并正确看待孩子學習過程中出現的錯誤，更能探索怎樣去構建進位制與位值制。