作者簡介：阿裡巴巴高級技術專家，一直關注前端和機器學習領域相關技術，在知乎和微信公衆号的“全棧深入”分享深度硬核技術文章。

由于頭條号字數限制，前兩篇文章《熬了幾個通宵，終于把初中到大學學習算法的必備數學知識梳理完1》發了兩次還沒有發布完，這是第3部分内容，主要介紹微積分、矩陣等知識。大家記得關注、點贊、收藏支持一下哈！

由于文章較長，文章将分成了3個部分，本文是第3部分，第1，2部分内容可以點擊下方鍊接，也可以參考文章末尾的 了解更多 直達。

• 第1部分
• 第2部分
• 第3部分（本文）

本文是講解從初中、高中、大學裡面用到的數學知識，這些數學知識是計算機算法、機器學習等領域學習的基礎。數學是很多行業領域的基礎學科，很多領域底層都是數學。

第1部分：介紹了初中、高中裡面學到的數學概念、多項式、平方差、平方和、因式分解、一元二次方程、集合、充要條件、函數、幂函數、指數函數等知識。

第2部分：介紹對數函數、反函數、三角函數、數列、導數等知識。

第3部分（本文）：将介紹高等數學中定積分、微積分、矩陣等相關知識。

-------------我是分隔線，接上一篇-------------

1、近似替代法求曲面的面積及加速行汽車的距離。

練習1

陰影部分類似于一個梯形,但有一邊是曲線y=f(x)的一段。我們把由直線x=a, x=b(a≠b), y=0和曲線 y=f(x) 所圍成的圖形稱為曲邊梯形. 當 y= x^2, x=1, y=0時，如何計算這個曲邊梯形的面積呢?

求解步驟

1）分割：将區間[0, 1]分割成n個小區間，用表達式計算每個小區間的長度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n，面積△S ，總面積 .

2）近似替代：當n很大，△x很小時，可認為每個區間f(x)=x^2值變化很小，近似等于一個常數（可認為是左端點處的函數值y=x^2）。即用直線段近似地代替小曲邊，近似可用小矩形面積代替曲邊梯形面積。得到面積△S的表達式 其中i為第i個小區間,。

3）求和：通過将n段的每個△S進行相加，得到一個表達式，進行代數運算後得到總面積S一個簡單的表達式：

。

4）取極限：當n取無窮大時，即△x趨向于0時，得到總面S的會上為1/3

練習2

汽車以速度v作勻速直線運動時,經過時間t所行駛的路程為s=vt. 如果汽車作變速直線運動,在時刻t的速度為 (t的單位:h,v的單位:km/h), 那麼它在0≤t≤1這段時間内行駛的路程s(單位:km)是多少?

求解步驟：參照上個練習，得到最終答案為：

2、定積分

由近似替代法求曲面的面積及加速行汽車的距離都可歸結為求這種 特定形式和的極限。将區間[a,b]等分成n個小區間,在每個小區間上任取一點(i=1,2,…,n)作和式為：

當時，該和式無限接近某個常數，該常數叫做函數f(x)在區間[a,b]上的定積分(definite integral)，記作：

其中：

- a和b：積分上限和積分下限

- 區間[a,b]：積分區間

- 函數f(x)：被積函數

- x：積分變量

- f(x)dx：被積式

上面曲邊梯形面積定積分表示：

幾何意義：表示由直線x=a, x=b （a!=b），y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。

上面汽車路徑定積分表示：

練習

1）計算 的值

解題步驟：

- 分割：區間[0,1]等分為n個區間, [i-1/n, i/n] （i=1,2,3..n）,每個小區間長度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n

- 近似代替、作和：

- 取極限：

定積分性質：

• 其中k為常數
• 其中

1、微積分

用定積分的定義計算的值比較麻煩，導數和定積分存在聯系。

一個作變速直線運動的物體的運動規律是y=y(t). 由導數的概念可知,它在任意時刻t的速度v(t)=y'(t). 設這個物體在時間段[a,b]内的位移為s,你能分别用y(t),v(t)表示s嗎?

用定積分的定義計算 的值比較麻煩，導數和定積分存在聯系。

解：

1）物體的位移s是函數y=y(t)在t=b處與t=a處的函數值之差，即 s=y(b)-y(a)

2) 用定積分求位移：

- 分割

- 近似替代、求和

- 求極限

得到

n越大，△t越小，區間[a,b]劃分的越細， 與s的近似程度就越好。

3) 由定積分得到

4) 由1），2）結果得到

5) 微積分基本定理

fundamental theorem of calculus,（牛頓-萊布尼茲公式, Newton-Leibniz Formula）.

一般地如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數，且F'(x) = f(x)，則

，則F(b)-F(a)常記作 ，即：

計算定積分的關鍵是找到滿足 的函數F(x)，通常可運用基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則從反方向上求出F(x)

> 練習

1、計算下列定積分

1)

2)

3)

4)

5)

> 解

1) 因為 (lnx)' = 1/x，所以

2) 因為 , 所以

3)

三角函數的定積分等于三角函數的面積

4)

5)

參考：基本初等函數的求導公式

1. 若f(x)=c(c為常數),則f'(x)=0
2. 若f(x)=x(n∈Q),則f'(x)=nx^(n-1)
3. 若f(x)=sinx,則f'(x)=cosx
4. 若f(x)=cosx,則f'(x)=-sinx
5. 若;
6. 若;
7. 若f(x)=loga x,則f'(x)=1 / (xlna)
8. 若f(x)=lnx,則f'(x)=1/x

2、定積分的簡單應用

1、計算曲線所圍圖形的面積S 解：

1) 畫出草圖

2) 解方程

得到的解為交點的橫坐标為x=0, x=1

3) 求圖形面積

S = S曲邊形梯形OABC - S曲邊形梯形OABD =

2、計算直線y=x-4, 曲線所圍圖形的面積S

1) 畫出草圖

2) 解方程

直線與曲線交點的坐标為(8,4)，直線與x軸交點坐标為(4,0)

3) 求圖形面積

3、變速直線運動的路程 作變速直線運動的物體所經過的路程s,等于其速度函數v=v(t) （v(t)≥0）在時間區間[a,b]上的定積分

輛汽車的速度-時間曲線如圖所示,求汽車在這1min行駛的路程.

解：

---

16、高等數學 - 矩陣

1、矩陣與向量1) 矩陣矩陣是矩形的數組。

• 矩陣的表示：A=(a_ij)，其中i=1,2,3 . j=1,2,3
• 矩陣元素表示：第i行，第j列的元素通常表示為：a_ij。用大寫字母表示矩陣，用小寫字母表示矩陣中的元素。
• 矩陣集合：用R ^{mxn}表示所有元素為實數的m x n矩陣集合。
• 矩陣來自集合表示：元素來自集合S的m x n 矩陣的集合可用S^{m x n}表示。

2) 矩陣轉置

交換矩陣的行和列，獲得的矩陣是矩陣A的轉置

3) 向量向量是一維數組。長度為n的向量稱為n向量，用xi表示向量中第i個元素，其中i=1,2,3..n。将向量的标準形式定義為列向量，是n x 1的矩陣，轉置後是行向量。

單位向量：除第i個元素為1，其他均為0的向量。

2、各種矩陣

• 零矩陣：所有元素均為0的矩陣，常表示為0。
• 方陣：正方形 n x n的矩陣
• 對角矩陣：一個矩陣中對于任意，i≠j，均有aij=0aij=0。即非對角元素均為0

• 單位矩陣：In, 對角線元素均為1的n x n對角矩陣。In=diag(1,1,...,1)=[10⋯0 01⋯0 ⋮⋮⋱⋮ 00⋯1 ]

3、矩陣基本操作

矩陣或向量中的元素是實數、複數、或整數取模某素數等數系中的數。

• 矩陣加法如果矩陣A=(aij),B=(bij)是m x n矩陣，兩者的矩陣和是對應位置上的元素進行相加，得到的和C=(cij)=A BC=(cij)=A B也是m x n的矩陣。即cij=aij bij

零矩陣相加是矩陣加法的單位元，A 0=0 A=A

• 矩陣數乘标量倍數：λA=(λaij)是A的标量倍數。通過将λλ分别乘以每個元素。−1⋅A=−A−1⋅A=−A
• 矩陣減法A (-B) = A - BA (-A) = -A A = 0
• 兩個相容的矩陣A和B，即A的列數與B的行數相等才能相乘。

---

4、各矩陣相乘

- 單位矩陣相乘：

- 零矩陣相相乘：A0=0

- 矩陣乘法結合率：A(BC)=(AB)C

- 矩陣乘法對加法滿足分配律：A(B C)=AB AC。例外：n>1，n x n的矩陣乘法不滿足交換律。如下：

- 矩陣向量乘積：可把向量看作n x 1的矩陣相乘。

- 内積：如果兩個向量相乘，則 是一個1x1的矩陣，稱之為x與y的内積。

- 外積：矩陣 是n x n的矩陣Z，稱為x與y的外積。

- 歐幾裡德範式：定義 n 向量x的範式 ，x的範式是其在n維歐幾裡德空間内的長度。

5、矩陣的基本性質

1）矩陣的逆

定義 n x n的矩陣A的逆 為滿足 的n x n矩陣(即為原矩陣的倒數）。許多非零矩陣沒有逆矩陣。

如求

- 可逆矩陣：若矩陣可逆則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，如果存在則其是唯一的。

- 不可逆矩陣：沒有逆的矩陣為不可逆的或奇異的。

- 逆操作與轉置操作可交換順序：

2）矩陣的線性相關和無關

- 線性相關：若存在不全為零的相關系數 c1,c2, ..,cn，使得 ，則稱向量 是線性相關的。

- 線性無關：不是線性相關的。單位矩陣的列向量是線性無關的。

3）矩陣的秩

對于非零 m x n的矩陣A：

- 列秩：最大線性無關`列`集合的大小

- 行秩：最大線性無關`行`集合的大小

任意矩陣A所共有的一個基本性質是A的行秩等于其列秩。簡稱為A的叠。

秩：非零m x n矩陣A， m x r的矩陣B，r x n的矩陣C，使得 A = BC時最小數值r是A的秩。

矩陣的秩

- 矩陣的秩是[0, min(m, n)]内的整數

- 零矩陣的秩是0，而n x n單位矩陣的秩是n

滿秩

- 如果 n x n方陣的秩是n，則它是滿秩的。

- 如果 m x n矩陣的秩是n，則它是列滿秩的。

定理

- 定理1：一個方陣是滿秩的，當且僅當該方陣是非奇異的。

- 定理2：一個矩陣A是列滿秩的，當且僅當該矩陣不存在空向量

- 推論3：一個方陣是奇異的，當且僅當它有空向量

4）矩陣的行列式

n x n(n>1)矩陣A的第i行j列子矩陣，是一個删除A中i行j列後得到的(n-1)x(n-1)矩陣 。利用子矩陣遞歸定義該矩陣的行列式。

為元素 的代數餘子式。

行列式性質

定理4：

- 如果矩陣A中某行或某列為0，則det(A)=0

- 當将矩陣A的任意一行（或列）的每個元素乘以 後，A的行列式乘以

- 當将矩陣A的任意一行（或列）的每個元素加到另一行（或列）的元素上，則A的行列式不變

- 矩陣A的行列式與其轉置 的行列式相等

- 當交換A的任意兩行（或兩列）時，行列式改變正負号

定理5：n x n 矩陣A是奇異的，當且僅當dt(A)=0。

5）正定矩陣

如果n x n矩陣A滿足對于所有n向量 ，有 ，則稱A是正定的。

對于任意列滿秩的矩陣A，矩陣 是正定的。

--------------------我是分割線--------------------

如果你覺得有收獲，就幫忙關注、點個贊、收藏一下，這是對我這幾天來的敲公式的最大鼓勵，也是我持續分享的動力，謝謝你們的支持！

到此，基本内容介紹完了，要想看完整版本可到"全棧深入"公衆号或知乎中查看。後面将會補充介紹其他中學課本中沒有的其它數學知識，主要圍繞線性代數、高等數學、概率等三個部分。關注我，将會持續給大家更多深度的文章。

• 第1部分
• 第2部分
• 第3部分（本文）

作者簡介：阿裡巴巴高級技術專家，一直關注前端和機器學習領域相關技術，在知乎和微信公衆号的“全棧深入”分享深度硬核技術文章。關注我，持續給你帶來技術幹貨。

,