昨天在球體的内接圓錐體的評論中，有評論提問了關于圓的内接三角形的問題。
圓的最大内接三角形的求解，除了用到正弦定理的變形以及圓的幾何性質，還用到了均值不等式的變形、凸函數的概念等。
圓的内接三角形
首先将三角形ABC的面積表示出來：
這裡用到了正弦定理的變形。
如下圖，做輔助線。
做如圖輔助線
在三角形OBP中，可得：
同理可得：
三角形ABC的面積可化簡為
這一步用到了均值不等式的變形。
又因為正弦函數為定義域R上的凸函數，可得：
所以
當且僅當A=B=C時不等式取等号。
即
如此，可以證明，圓的内接三角形中，正三角形的面積最大。
如需要進一步求出該三角形的邊長或者高，也是很簡單的啦。
看似很簡單的一道證明題，實際上卻用到了高中數學的諸多知識點；在實際的解題中，如果是選擇或者填空題，我們就可以直接運用這個結論啦！
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