【考試要求】

1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、台、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；

2.知道球、棱柱、棱錐、棱台的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題；3.能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.

【知識梳理】

1.空間幾何體的結構特征

(1)多面體的結構特征

2.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐标軸的線段，直觀圖中仍分别平行于坐标軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半.

3.圓柱、圓錐、圓台的側面展開圖及側面積公式

【考點聚焦】

考點一　空間幾何體的結構特征

【規律方法】　1.關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，隻需舉一個反例.

2.圓柱、圓錐、圓台的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系.

3.既然棱(圓)台是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)台問題時，要注意“還台為錐”的解題策略.

考點二　空間幾何體的直觀圖

【規律方法】

1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規則可以用“斜”(兩坐标軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.

2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系S直觀圖＝S原圖形.

考點三　空間幾何體的表面積

【規律方法】　1.求解有關多面體側面積的問題，關鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯系高與斜高、邊長等幾何元素間的橋梁，從而架起求側面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯系.

2.多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

3.旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.

考點四　空間幾何體的體積

【規律方法】　1.(直接法)規則幾何體：對于規則幾何體，直接利用公式計算即可.

2.(割補法)不規則幾何體：當一個幾何體的形狀不規則時，常通過分割或者補形的手段将此幾何體變為一個或幾個規則的、體積易求的幾何體，然後再計算.經常考慮将三棱錐還原為三棱柱或長方體，将三棱柱還原為平行六面體，将台體還原為錐體.

3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個面作為三棱錐的底面.(1)求體積時，可選擇“容易計算”的方式來計算；(2)利用“等積性”可求“點到面的距離”，關鍵是在面中選取三個點，與已知點構成三棱錐.

【規律方法】1.與球有關的組合體問題，一種是内切，一種是外接.球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.

2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體确定直徑解決外接問題.

【反思與感悟】

1.幾何體的截面及作用

(1)常見的幾種截面：①過棱柱、棱錐、棱台的兩條相對側棱的截面；②平行于底面的截面；③旋轉體中的軸截面；④球的截面.

(2)作用：利用截面研究幾何體，貫徹了空間問題平面化的思想，截面可以把幾何體的性質、畫法及證明、計算融為一體.

2.棱台和圓台是分别用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐後得到的，所以在解決棱台和圓台的相關問題時，常“還台為錐”，體現了轉化的數學思想.

3.轉化與化歸思想：計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進行，即将側面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.

【易錯防範】

1.求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

2.底面是梯形的四棱柱側放時，容易和四棱台混淆，在識别時要緊扣定義，以防出錯.

【核心素養提升】

【直觀想象與邏輯推理】——簡單幾何體的外接球與内切球問題

1.直觀想象主要表現為利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物，解決與球有關的問題對該素養有較高的要求.

2.簡單幾何體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑長或确定球心O的位置問題，其中球心的确定是關鍵.

一、知識要點

1.外接球的問題

(1)必備知識：

①簡單多面體外接球的球心的結論.

結論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點.

結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點.

結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點.

②構造正方體或長方體确定球心.

③利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，确定球心.

(2)方法技巧：幾何體補成正方體或長方體.

2.内切球問題

(1)必備知識：

①内切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.

②正多面體的内切球和外接球的球心重合.

③正棱錐的内切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.

(2)方法技巧：體積分割是求内切球半徑的通用做法.

二、突破策略

1.利用長方體的體對角線探索外接球半徑