楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。因為首現于南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，而書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。古代波斯數學家歐瑪爾·海亞姆也描述過這個三角形。在歐洲，因為法國數學家布萊茲‧帕斯卡在1653年的《論算術三角》中首次完整論述了這個三角形，故也被稱作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。

楊輝三角的前 10 行寫出來如下：

• 在最上面一行的中央寫下數字 1
• 第二行，寫下兩個 1，和上一行形成三角形
• 随後的每一行，開頭和最後的數字都是 1，其他的每個數都是它左上方和右上方的數之和，就是說除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等于它的左上方與右上方兩個數字之和。

每個數是它左上方和右上方的數的和

楊輝三角的美妙之處在于：它是如此足夠簡單，但本身在數學上卻擁有豐富的魅力。這是數學中的最令人稱奇的事物之一，随便取諸多數學性質中的某個，就能表明它是多麼的精彩絕倫。

​現在讓我們一起來探索藏在楊輝三角裡的 10 個你可能不知道的秘密吧！

提示：為了有助于找到隐藏的信息，先将楊輝三角按左對齊方式排列。

左對齊後的楊輝三角

前兩列倒沒什麼特别的地方，第一列均為 1，第二列則為自然數。而第三列就是三角形數(Triangular number)。你可以想到，三角數就是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，如下圖所示。

三角形數(圖自維基)

類似地，第四列是四面體數(Tetrahedral number)，也叫三角錐體數。顧名思義，它們代表由三角形構成的四面體所需要的點的數目，四面體數每層為三角形數。

五層高的錐體共包含 35 個球體

往後每一列都延續這一規律，這一規律描述了由三角形數/四面體數到高緯度“單純形”的拓展。下一列是 5-單純形數，接着是 6-單純形數，以此類推。

在幾何上，單純形是某一維度空間中構造最簡單的結構，0-單純形就是點，1-單純形就是一條線段，2-單純形就是三角形，3-單純形就是四面體，4-單純形就是五胞體。

圖自維基

秘密#2: 2 的幂

如果你把每一行相加會得到 2 為底的幂，始于 2⁰=1

可以看到每一行的和都是以 2 為底的幂

秘密#3：11 的幂

楊輝三角還揭示了 11 為底的幂的值。你要做的就是将每一行的數字擠壓到一起。前 5 行足夠簡單，但出現兩位數的時候該怎麼辦呢？

事實證明，你要做的就是将十位數加到它左側數字上，比如下圖所示的是第六行中出現了上面的情況，如何進行移動以獲得 11⁵ 的值

如果出現了三位數同樣進位處理即可。

秘密#4: 完全平方數

我們可以通過将右邊的數與右下的數相加找到第二列中自然數的平方。 如：

• 2² → 1 3=4
• 3² → 3 6
• 4² → 6 10=16 等等

秘密#5: 斐波那契數列

為了揭示隐藏的斐波那契數列，将左對齊的楊輝三角對角線相加。比如下圖楊輝三角中發現的斐波那契數列前九個數：1，1，2，3，5，8，13，21，34…

按線條所示相加結果即為斐波那契數列(圖自維基)

秘密#6: 謝爾賓斯基三角

放大楊輝三角，将所有的奇數用淺紅色标識出來，你看到了什麼？

是不是出現了著名的分形圖謝爾賓斯基三角了呢？

秘密 #7: 組合數學

或許楊輝三角中發現的最有趣的關系就是我們如何利用它找到組合數。

楊輝三角的前六行寫成組合數的表達形式

回憶一下從 n 個不同元素中選 k 個元素的組合公式。我們發現，對于楊輝三角中的每一行數字，從零開始計數，n 是行數，k 是在這一行中的位置。

所以，如果你想計算 4 選 2，看第 5 行，第 3 個數（因為我們從零開始計數），你會發現，答案是 6.

秘密 #8：二項式的展開

在數學上，二項式系數是二項式定理中各項的系數。而二項式系數可排列成楊輝三角，這樣可以避免這樣的麻煩，直接找到答案。

二項式相乘的标準方法 比如，我們來展開(x y)³。既然我們把(x y)的幂提升到了 3，就用楊輝三角第四行的值作為展開項的系數。然後像下面描述的一樣填入 x 和 y 的表達式。

提示：每個單項式的次數和等于 (x y) 被賦予的幂值。

秘密 #9: 二項式定理

(x y)的幂運算是很酷，但我們多久才會需要解這樣的題呢？很有可能，不太經常需要。如果我們能夠從上一個章節的結論中總結出一個更有用的形式，會不會更方便？ 好吧，其實這就是二項式定理：

這個公式也稱二項式公式或二項恒等式。

更具體内容請見文章《利用楊輝三角形來解釋二項式定理》

秘密 #10: 與概率之間的聯系 — 二項式分布

二項式分布描述了具有兩種可能結果的實驗的概率分布。事實上，楊輝三角的每一行也能揭示了這樣的清晰，以最經典就是扔一枚硬币為例吧。

如果考慮抛 3 次硬币，就會有 8 種可能發生的事件：

但其實可以分為 4 類情況：

• 3 次反面 —— 隻有 1 次發生
• 2 次正面和 1 次反面 —— 有 3 次發生
• 2 次反面和 1 次正面 —— 有 3 次發生
• 3 次正面 —— 隻有 1 次發生

這注意 1, 3, 3, 1 正是楊輝三角的第 4 行。同樣如果抛 5 次硬币，出現 3 正 2 反 的事情會出現 10 次，這也是出現在了楊輝三角第 6 行。

如果設抛硬币得到正面概率為 p，反面概率為 1–p。想知道扔到正面的可能性，我們可以使用二項式分布的概率質量函數（pmf）找到概率的分布， 其中 n 是試驗次數， k 是成功次數。

二項式分布的概率質量函數

嗨，這看起很熟悉啊！這幾乎和我們前面提到的二項式定理是一樣的公式，隻是沒有求和公式，同時 x 和 y 被 p 和 1-p 代替了。

假設成功的概率是0.5(p=0.5)，我們計算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。

在公式中代入 n=3、 k=0, 1, 2, 3 ，得到下面計算結果，請注意楊輝三角裡的組合數： 1, 3, 3, 1：

扔到正面 0 次、3 次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，這與上面分析結果是一緻的。

這便是看似簡單的楊輝三角裡的 10 個秘密，是不是很精彩啊！但這并不是終點，還有另外更有趣的性質隐藏其中，或許未來我們繼續前行，一道再探索吧。

本文作者：[遇見數學翻譯小組] 姚高華、李千蔚

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