二重積分，微積分領域内非常重要的概念。我用了兩期專門講解二重積分的概念和極坐标下二重積分的概念。

五分鐘MIT公開課-多元微積分：二重積分

五分鐘MIT公開課-多元微積分：極坐标的二重積分

最直觀的從幾何的角度，可以認為：二重積分是積分區域與二元函數圍成柱體的體積。有了這個概念以後，現在我們要跳出來，進行一些物理學角度的思考，看一下二重積分更廣泛的應用。在最後，補充一些關于質心的動畫，這些物理概念就不再晦澀啦。

第一部分，二重積分計算物體重量，體積和質心。.....................50%

第二部分，二重積分計算轉動慣量。....................90%

第三部分，補充動畫，關于質心，轉動慣量。 ....................100%

計算某區域的面積

一說計算面積，很容易就讓人聯想到，這是一重積分的工作，但是二重積分也是可以算面積的。面積可以看作是對小區域 dA 求和：

可以對密度做積分得到質量，需要計算體積。這是三重積分的工作。注意二重積分隻能處理平面。

但是考慮一個平面物體，比如金屬闆，就可以用二重積分計算了。平面金屬闆的質量是闆上每一小片質量的總和。一個平面物體的密度是每單位面積元的質量，因此可以對密度積分求平面物體質量。

用 delta 表示密度，dA表示小區域：

在區域R上求函數f的平均值

大家都知道有限數據集平均的意義，比如一個班的考試平均成績，店鋪平均每天的客流量。

但是無限數據集呢？

測量一個空間的平均溫度，更高的準确度要求更多的測量點。數學上定義連續數據集合的平均值的方法是對整個數據集合的函數做積分，再除以這個集合的大小，也就是區域的面積。

這個平均值對各點的權重是一樣的。如果是加權平均則在積分内乘以權重系數。

平面物體的質心

在直角坐标系下，物體的質心在(x,y)的加權平均處。

質量是使物體平動的困難程度。

轉動慣量用來描述剛體轉動時的慣性，和質量不同，和旋轉軸有關。

大概推一下轉動慣量的公式，了解就行。

質點的動能：

距離質點o的r處有一點m，角速度為w，線速度等于角速度乘以半徑：

所以，轉動慣量的定義為：

一個大物體的轉動慣量是構成大物體所有小物體的轉動慣量總和。

關于原點轉動的轉動慣量

如果沿着x軸轉動，質點到x軸的距離為y的絕對值，數值大小表示了沿着x軸轉動的難度。

同理，我們可以求出剛體繞任意軸轉動的公式，隻要能夠找到每個點到轉軸的距離。

例子：

一張正在播放的碟片，設密度均勻為1，沿着中心點轉動。

這就是沿着中心點轉動碟片的難度，再來看下飛盤，飛盤沿邊界處一點轉動

如果飛盤繞着邊界一點旋轉會比繞中心旋轉難3倍。

質心

生活中我們有這樣的概念，如果想去平衡一個物體，可能會是這樣的：

但是如果找到了質心，也就時平衡點，物體就能夠保持平衡了：

轉動慣量

現在考慮一個平衡在豎牆上的薄片:

如果稍微偏離了平衡點：

如果偏離的更大些，根據上面的公式，距離增大，導緻轉動慣量增大，那麼下落的速度也就更快了：

密度不均勻分布

對于一個密度均勻的半圓盤：

如果組成物體的材質分布不是均勻的，那麼物體的質心也會跟着移動。如圖，半圓盤上顔色的深淺表示了密度的大小，先前的平衡點已經不能保持平衡了：